S^2: MIMO接收机之初探

溯溪而上

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文|Bowen

01

问题先容

      首先明确所谓接收机所解决的问题，很简单，从接收符号中恢复出发送符号，当然也可以是发送比特，甚至是比特似然比。

       呃，关于这句话后面看起来挺烦的那两小句，有必要澄清一下，虽然小编很努力地想说得更简单点，但是毕竟这问题已经被一帮老夫子翻来覆去地捣鼓几十年了，所以整出来一些花里胡哨的东西咱也见怪不怪了。

       接收机算法的发展历程小编思忖着可以分为三个阶段：1 符号级寻优；2 比特级寻优；3 软比特级寻优。小编本想一次性先容完毕，但是写着写着发现内容有点多，为避免引起不适，大家还是见好就收:)

02

第一阶段--符号级寻优

       看图说话，所谓接收机算法就像个炼丹炉，大家输入接收符号Y和信道估计H，就能出来发送符号X了，炉子画糙了点，意思到了就行:)

2.1

迫零接收机

       聪明的你可能发现了，这不就是个线性非齐次方程组吗？解这个不就伸手就来？直接对信道H求个逆不就行了嘛，什么？H不可逆？不可逆就伪逆呗！

       真是天才，弹指之间想出大名鼎鼎的迫零接收机！这就算是解决啦？是的，但是大家还想更进一步，这个迫零接收机的缺点我想您一定也看出来了--对噪声太敏感。为什么呢？前面的炼丹炉子里其实一般还有点灰尘混进去，这可能导致炼出来的丹药纯色不好，严重时候就不灵了。

        有没有方法在低信噪比情况下也能表现良好呢？

2.2

MMSE接收机

      答案当然是有，轮到最小均方误差接收机登场了。顾名思义，这款接收机算法能使得均方误差最小，或者专业点讲，是在均方意义下的最优线性估计。我想找个所谓加权矩阵W，乘在Y上去尽量逼近X，其本质是正交性原理的应用。正交性原理咱熟啊，不就是投影嘛，往哪投？当然是往我拿到的数据Y上投啊，投影后的残差和我用来投影的原材料是正交的，over！当然为了凑点篇幅也为了看起来专业点，咱还是放点公式

大家的均方误差就是

轻轻松松导出最优的W

至于MMSE接收机的地位，堪称车中五菱、gun中AK，极致性价比！

       那么，还能更强吗？

2.3

球译码接收机

       答案当然是有。MMSE接收机的本质缺陷是线性，作为一款线性估计器，在性能上自然是美中不足，尤其是随着通信技术的发展，一些非常强大的技术如MIMO，先进调制编码手段的应用，对于接收机性能的要求自然也是水涨船高，于是大家就不仅满足于MMSE了，大家想找最大似然解。

       世人都晓似然好，唯有复杂度整不了。导出似然函数，发现没有闭式解，没办法只能穷搜了。这里小编直观说明一下搜索空间大小您就知道有多离谱了，假设调制阶数和流数分别为Q和L，常见的Q有{16QAM、64QAM、256QAM}，常见流数{1、2、4}，需要遍历的点数就是Q的L次方（假如发送端发来数据，3天以后接收机给出结果，延迟是不是稍微有点高），显然不可行。当然这样离谱的问题在优化中也不是个例，那一般咱是怎么做的呢？梯度下降？牛顿法？导都导不了，统统歇菜！但是迭代或者说递推的思想能不能用上呢？总之，大家不想遍历，大家想找到一条路，一路走到最优点，美哉！

       先贤们于是发明了球译码，所谓球译码，其核心在于想办法改变信道矩阵H的结构，然后创造递推式，依次寻找每一流的符号（不得不感叹，解决多变量问题的时候，条件的思想总是不难见到）。

       于是QR分解粉墨登场，大家知道QR分解的本质就是正交化，想想大家学过的，在线性空间中如果给定一组基，是如何对其进行规范正交化的呢？是所谓Gram-Schmidt正交化方法，基本思想就是一个一个来，当对某个基向量正交化时，是先向前面所有已经处理好的基向量投影，残差再规范一下，以此类推，QR分解就是在玩这个，其分解结果是一个正交矩阵右乘一个上三角矩阵，正交矩阵自然就是正交规范的结果，上三角结构正是体现了正交化的过程。额！一讲到QR分解，可能就离不开Householder Reflection或者Givens Rotation了，这里就不扯远了，说了您也懒得看:)

       当然了，不记得这些也一点关系都没有，大家关心的是什么呢？还是看图说话

上述分解之后，既然Q是正交矩阵，自然左乘到Y上，于是原本的Y=HX转化为

       注意看等号右侧，大家渴望的递推式出现了！！！向量X的最后一个元素（也就是最后一个符号）可以先行确定，因为它的确定不依赖于其他符号的选择（如果没明白这句话的意思？再看一遍R的结构就明白了:)），于是大家可以沿着X向量自下而上，逐次确定所有符号。这一递推式的出现完全得益于R矩阵的上三角结构，至于具体怎么推，深度优先还是广度优先，不重要。大家只需要明确三点：

其一  QR分解可以是唯一的，当对R对角线元素提出要求的话；

其二  QR分解的数值稳定性非常好，分解出的Q是正交矩阵保证了不会有什么近似引起的信息损失；

其三  球译码可以寻求似然意义下的最优符号；

此外还有一点，它非常快！

       关于球译码，还有两点可以讨论的地方。

第一点，刚刚聪明的你可能在想，仅仅是上三角结构就有如此威力，那我干脆做到极致，能不能把信道H变换为对角阵呢？如此一来所有流不就彻底解耦了？遗憾的是，至少在目前看来没有这样的算法。初等行变换（为什么不能列变换呢，大家可以想一想）当然可以做到对R矩阵的进一步稀疏，但是这样的变化不是唯一的，也不能保证分解后的左乘矩阵Q为正交阵，甚至是否可逆也是未知的，于是对Q的逆就类似于迫零接收机中的对H伪逆了，数值稳定性惨不忍睹，性能和QR分解的结果自然也是云泥之别。

第二点，刚刚所说的球译码能够找到最优符号，那能不能直接找到最优比特呢？提出这个问题，标志着你进入接收机算法的第二阶段了--比特级寻优。

03

第二阶段--比特级寻优

       虽然对于常识的渴求驱使你看到了这里，但是无论如何第二阶段的先容得放到下一次了，因为小编实在是没时间了，小编要下班啦:)