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小尾巴乌

纠错码理论不仅是信息安全的理论基础，而且是量子信息的理论基础。
1994年Hannnons、Calderbank、Sloane等人在正EETrans.Inform.Theo珊上
了著名的获奖论文“The二一linearityofKerdock，PreParat几Goethais，and
codes’’以来，纠错码在有限环上的理论研究成为近年来编码理论研究的热点
年，Calderbank、Ralns、Shor等人建立了量子纠错码理论的数学形式，并
出了利用纠错码构造量子纠错码的系统而有效的方法，他们的研究成果极大
动了纠错码理论在量子信息中的应用。
本文以纠错码在有限环上的理论研究为基础，以量子纠错码的构造为主
用。具体研究内容如下:
1.纠错码在有限环上的理论研究
(l)研究了多项式剩余类环上的常循环码，在多项式剩余类环上定义了
Gray映射，得到了多项式剩余类环上的常循环码在新定义的Gray映射下的
好的性质。
(2)研究了多项式剩余类环上的重根循环码，通过离散傅立叶变换，建
多项式剩余类环上的重根循环码同理想的直接和之间的关系。
(3)给出了有限环凡+uFa上构造MacDonald码的方法，并且通过构
MacDonald码，得到了一类秘密共享方案的访问结构。
(4)研究了幂零指数“·2，剩余类域为凡*的有限链环R上常循环码
像问题，通过定义新的Gray映射，证明了有限链环上线性常循环码在新定
Gray映射下的像是凡介上的准循环码，并且证明了气:上循环码在有限链
Gray像等价于准循环码。
(5)研究了幂零指数为任意正整数，剩余类域为凡的有限链环R上
环码，在有限链环R上定义了新的Gray映射，得到了有限链环R上的常循环
新定义的Gray映射下的一些好的结果。
2.纠错码在量子信息中的应用研究
(1)首次通过有限环凡+uFz上的循环码来构造量子纠错码，之前所有
子纠错码的构造都是在有限域上通过自正交的经典线性码来构造得到的。我
过对有限环凡+峨上循环码的结构研究，构造得到了好的量子纠错码，并且
了一类无限个量子纠错码。
(2)通过对有限环凡2(模夕剩余类环，其中p为素数)上线性码的
得到了一种构造非二元的非加性量子纠错码的方法，并且得到一类无限个非
的非加性量子纠错码((夕，+，，夕，p’一4，一‘，3印一l)))。
(3)在非对称的量子信道上，利用经典的平方剩余码和Reed一Mulle:码
摘要
批非对称量子纠错码，并且利用广义Reed一solomon码构造了一批达到
eton界的最优非对称量子纠错码。
(4)利用准循环码来构造量子纠错码，给出了准循环码包含其对偶码的条件，
了新的量子准循环码。
(5)利用准缠绕码来构造量子纠错码，通过对准缠绕码的结构分析，将量子
码、量子常循环码、量子准循环码的构造方法统一起来。
(6)给出了量子纠错码的一种递归构造方法，即利用了自正交线性码的生成
的一种递归关系，将这种关系同构造量子稳定子码相联系，解决了构造长的
稳定子码的问题。